代做Computer Project: Computer Analysis of Structures and Structural Dynamics代做Matlab语言

日期：2024-05-30 04:02

Computer Project: Computer Analysis of Structures and Structural Dynamics

Due Date: June 7, 2024 (23.55)

Initial Stage:

Part A - [3% marks]

Use Strans7 and analyze the three structures given in Assignment 3. Compare the results produced by Strand7 with your hand-calculated results (Assignment 3). For the grillage, you should be careful with their correct orientations of members (see some details later – Part C of Final Stage). Show sample results in the report as stated later.

Note: To avoid getting an error message “stiffness matrix is singular” for analysis these structures, you must be careful with the input of cross-section properties (Section Area, I11, I22 and J) under “Section” within “Property” and the selection of “Freedom Case” under “Global” .

For example, consider the analysis of a beam assuming you have drawn the beam along X-axis and applied loads along Y-axis.  Input of I11 (moment of inertia of the beam section) should be enough (need not provide any input for Sectional Area, I22, and J - you can keep them zero), if you use the right Freedom Case of the beam (keep Y Translation/displacement and Z Rotation un-checked i.e., active/un-restrained while all other degrees of freedom checked i.e., inactive/restrained).

If you keep the default Freedom case (all degrees of freedom are active i.e., beam will behave like a 3D frame element having all modes of deformations – axial, torsional and bi-axial bending), you have to provide the input of Sectional Area, I22, and J to have generate non-zero stiffness matrix for all these modes of deformation. You can provide any value for Sectional Area, I22, and J (cannot keep it zero) as the there is no load that will be causing any deformation in axial, bending in horizontal (X-Z) plane, and torsional modes. Alternatively, you can use a rectangular beam section using Edit (under Geometry) and provide values to B and D to generate all these cross-sectional properties automatically but do not forget to overwrite the value of I11 with its correct value.

Also, do not forget to provide the material properties such as Modulus under “Structural” – either enter a value in the box or choose a material under  “Materials” within “Property”. The most important step is the use of right nodal restrains (under “Attribute”) to impose correct boundary or support conditions for avoiding any rigid body modes.

Part B - [2.5% marks]

Write a computer program in MATLAB for analyzing a beam using finite difference method (see the next page for its details). The beam is 5m long (L), simply supported at the two ends and subjected to a uniformly distributed load q = 4.0kN/m (see Fig. I-1). Take elastic modulus of the beam material E = 200GPa, and moment of inertial of the beam section I = 250x106mm4.

Fig. I-1

Note: A brief understanding of finite difference method related to this problem is given here. If the variation of deflection along the beam (Fig.  I-1) is defined as y = f(x) (or f for  simple representation), the slope of the beam can be expressed as θ = = = f . Taking further dx dx

derivatives on y, we can get bending moment M, shear force V, and applied load (intensity of distributed load) q as follows.

d2y dM d3y dV d4y

M = EI 2   , V = = EI 3   , = EI 4    = q

dx dx           dx                      dx dx

For the implementation of finite difference method to this problem (an numerical method based on approximation), the beam is to be divided in to a number of divisions (say n) as showing in Fig. I-2 where the governing equation for bending of the beam in finite difference form. will be substituted at the discrete points (x1, x2, x3, ……….. xi, ……..) to generate a number of equations in terms of unknown displacements at these discrete points (y1, y2, y3, ……….. yi, …….). These set of equations can be stored in matrix form. and solve the unknown displacements at discrete points.

According to finite difference rules, the figure the derivatives of y at a point x = xi can be expressed using Taylor series expansion as follow.

dy = yi+1 — yi (forward difference rule), dy = yi — yi—1 (backward difference rule), dy = yi+1 — yi—1

dx h dx h dx 2h

(central difference rule) – used of these three based on the situation (convenience, and accuracy),

= , = , and = .

dx h dx h dx h

So  the  governing  equation  for  the  bending  of  a  beam  can  be  written  according  to  the  finite difference form as:

[yi—2 — 4yi—1 + 6yi — 4yi+1 + yi+2 ] = q (1)

Due to boundary conditions (simple supports) at the two ends, the values of deflection at these points are known y0  = 0 and yn  = 0. So we have n-1 number of unknowns (y1, y2, y3, … .. yn- 1) which can be solved using n-1 equations obtained by substitution of the governing equation at these n-1 points. However, the  1st  equation (substitution of the  governing equation at x = x1) will involve additional unknowns such as y-1  andy0 where y0  = 0 (known) but we have replace y-1  in terms other y values using some boundary condition, which can be taken as zero bending moment at the simply supported left end.

At xi = x0 , M = EI = 0 → y 1 - 2y0  + y1 = 0 → y 1 = -y1

Similarly,  the  last  equation  (substitution  of  the  governing  equation  at x = xn-1)  will  involve additional unknowns such as yn+1  and yn where yn = 0 (known) but we have replace yn+1  in terms other y values using some boundary condition, which can be taken as zero bending moment at the simply supported right end.

In the MATLAB code, keep the number of divisions n (Fig. I-2) as variable because the value of n will be changed/varied from a smaller to a higher number and analyze the beam for multiple times with these multiple values of n to assess the convergence of results. The results will be changed with the change of n but the change or improvement of results will be minimized with the increase of n i.e., the results are stabilized or converged. You can take a sample result at any key point (say, mid-span deflection) and plot that with respect to n to visualize the convergence of results. You should compare the mid-span deflection value with the analytical solution available in any standard book  on  internet   [(5/384)*qL4/(EI)].  In  the  report,   show  the  convergence   for  the  mid-spam deflection  and  its   comparison  with  the   analytical  solution.  Also,   show  (table  or  curve)  the converged deflection at the discrete points of the beam.

-1         0         1         2         3 i n-1 n x n+1

L = n@ h = nh

y

Fig. I-2: The length (L) of the beam (Fig. I-1) is divided into n number of divisions (each of size h)

Additional task for Master of Engineering students:

Repeat the analysis of the beam (Fig. I-1) by replacing the uniformly distributed load with a point load P = 10kN acting at mid span.

Note: Take an even value of n so that the point load acts on a discrete point. In this case, the value of q on the right hand side of the governing equation (Eq. 1) will be zero for all points except the point subjected to the point load P where value of q should be taken as P/h. The analytical solution for the mid-span deflection is PL3/(48EI).

Final Stage:

Part A: Development and validation of a computer code for analysis of 2D frame structures [8% (/MATLAB code development) + 4% (Validation with Strand7) = 12%]

Write a computer program in MATLAB that will have the capability of analyzing 2D plane frames. The computer program should have sufficient generality for analyzing structures with any number of nodes, members, member orientations and their properties (geometric and material), loads, supports etc.

In addition to the point loads acting at the nodes, some members can be subjected to uniformly distributed loads over the entire length or a part of the length, non-uniformly distributed loads such as hydrostatic loading, point loads within the member or some other type of loads, and the direction of these loads may follow the member local axis system or structural/global axis system. This can lead to a large variety of loading scenarios. You need not consider every type of these loads but you should include at least the essential load cases (uniformly distributed loads over the entire length, and point load within a member having any distance from the starting node) that will enable to analyze structures with usual loading. The input for the loads may be given in local axis system of members or global axis system or you can have provision for both.

As the interactive mode of data input is not convenient for analyzing big structures, use input file/files or assign input data through MATLAB separate function/functions. You should use output file/files for writing your results in a nice organized formats.

The primary results are to be reported in the form of nodal displacements and member end forces. If a member is  subjected to  any load within  it,  include the  contribution  of fixed  end  forces  and moments in addition to the usual contributions due to joint displacements and rotations.

In the next step of this part of the project, you have to check/validate your computer program. This is to be done by solving numerical examples of structures with your computer program as well as Strand7  (a  commercially available  software)  and  compare the results  (nodal  displacements  and member end forces – important nodes and members as sample) obtained from both programs in a tabular form.

For the initial testing (validation) of your computer program, take a small example of frame from the lecture slides, which will give an initial confidence. This initial testing need not be shown in the report. In the next step, take an example of a relatively bigger structure as shown in Fig. F-1, compare the results produced by both programs (your MATLAB code and Strand7).

Part B: Analysis of a 2D truss using Strand7 and the given MATLAB code [3%]

First take a small example of truss from your homework assignment (Assignment 4) for the initial  testing of the given computer program for 2D truss as well as the procedure you are following to  analyze structures using Strand7, which will give an initial confidence. As you are using Strand7 for  analyzing truss for the first time here, do not forget to change the default option “Beam” to “Truss” for the type of structure under Property>Beam. This initial testing need not be shown in the report.  In the next step, take an example of a relatively bigger structure as shown in Fig. F-2, compare the  results produced by both programs.

Part C: Analysis of a Grillage frame using Strand7 [4.5%]

Use Strand7 to analyze a bridge deck system idealized as a grillage frame as shown in Fig. F-3 and present  the  results.  The  slab-bridge  system  is  idealized  as  a  grillage  consisting  of  a  set  of longitudinal beams along x axis interconnected with another set of transverse beams along y axis, which are  shown with lines of different colors  (Fig.  F-3).  The  cross-section  of these  different members  are  also  shown  along  with  that  (Fig.  F-3).  The  members  are  having  different  cross- sections (T, L, rectangular etc.) - you should be careful with their correct orientations. Use the feature “ Solid” Display Mode of members under “Entity Display” (click mouse right button to get that), rotate the members (using “Dynamic Rotation” tool), and change orientation if needed using “Principal Axis Angle” under “Beam” within “Attribute” . Use the right “Freedom Case” under “Global” to have 3 DOF per node.

Report: In the report (one report per group), provide the computer programs as well as input (if any) and output files. Include tables showing the comparison of results (nodal displacements and member end forces) obtained from your computer program and Strand7 (you should use sample nodes  and members  in  case  of large  output).  Also, provide the  deformed  shapes  and  member force/moment diagrams generated by Strand7. It will be a concise document with essential technical information like a laboratory testing report that will help the tutor/marker to quickly understand your actual work and need not include unnecessary descriptions and theories of the method from the lecture material.

As all these items can create a large number of results, provide some sample results only under each category. For example, you have three load cases where you can provide bending moment diagram for the first load case, shear force diagram for the second load case and deformed shape for the third load case. Provide first few pages of any tabular results (e.g. member end forces/moments) if it is having many pages.

Fig. F-1: A plane (2D) frame.

Note: the frame material is: Concrete AS3600 (1994) - Compressive Strength f'c = 25 MPa (you will get it in Strand7). For simplicity, treat the member sectionsun-cracked and ignore any effect of reinforcement.

The floor level beams are subjected 12.5 kN/m uniformly distributed gravity loads while the roof level beams are subjected 8 kN/m uniformly distributed gravity loads. Treat the gravity loads and lateral (horizontal) loads as separate load cases.

The size of the members are: floor level beams - 250 mm × 400 mm (depth); roof level beams: 250 mm × 300 mm (depth); columns - 450 mm × 450 mm.

Use the right “Freedom Case” under “Global” to have 3 DOF per node.

Fig. 2: A plane (2D) truss

Note: the member sections and other details as follows.

a) Vertical members (columns) of the truss are made of built-up sections, each consists of four One Steel: Equal Angle 300 PLUS 100×100×6 EA sections as shown below.

b) Each horizontal member between two columns consists of two One Steel: DuraGal Channel 100×50×4 CC

c) Each diagonal bracing member between two columns consists of a single One Steel: Unequal Angle AS 3679_ 1-350 100×75×6 UA

d) Each inclined member extended from the columns consists of two One Steel: DuraGal Channel 100×50×4 CC

The truss material is Structural Steel, AS 4100 – 1998 (you will get it in Strand7).

For Strand7 modelling, you should use the member Type option “Truss” (“Beam” in other two examples) while assigning member properties using the tool “Property” .

Use the right “Freedom Case” under “Global” to have 2 DOF per node.

Column Section

Longitudinal section of the actual bridge deck (slab-beam system)

Fig. 3: Grillage idealization of the bridge deck

(Simply supported at two ends of the 5 primary/longitudinal beams - Δ ; wheel load locations - .)

Cross-sectional geometry of the different members of the grillage

Note:

The grillage material is: Concrete AS3600 (1994) - Compressive Strength f'c = 50 MPa (you will get it in Strand7).

Use traffic load as uniformly distributed load (4kN/m) acting on the 5 longitudinal primary beams; wheel loads (each 5 kN) as shown in the figure in addition to the self-weight of the bridge deck (use the in-built Strand7 option to include the self-weigh).

Use the right “Freedom Case” under “Global” to have 3 DOF per node.