代做MATH5905 PRACTICE MIDTERM TEST - 2024调试R语言程序

日期：2024-03-27 12:19

DEPARTMENT OF STATISTICS

PRACTICE MIDTERM TEST - 2024 - Week 6

MATH5905

Time allowed:  135 minutes

1.  Let X = (X1 , X2 ,..., Xn ) bei.i.d. Poisson(θ) random variables with density function

a)  The statistic T(X) =P  Xi  is complete and sufficient for θ.  Provide justifi- cation for why this statement is true.

b)  Derive the UMVUE of h(θ) = e-kθ where k = 1, 2,..., n is a known integer. You must justify each step in your answer.  Hint:  Use the interpretation that P(X1  = 0) = e- θ and therefore P(X1  = 0,...,Xk  = 0) = P(X1  = 0)k  = e-kθ.

c)  Calculate the Cramer-Rao lower bound for the minimal variance of an unbiased estimator of h(θ) = e-kθ.

d)  Show that there does not exist an integer k for which the variance of the UMVUE of h(θ) attains this bound.

e)  Determine the MLE h(ˆ) of h(θ).

f)  Suppose that n = 5, T = 10 and k = 1 compute the numerical values of the UMVUE in part (b) and the MLE in part (e). Comment on these values.

g)   Consider testing H0  : θ 三 2 versus H1  : θ > 2 with a 0-1 loss in Bayesian setting with the prior ⌧ (θ) = 4θ2 e-2✓. What is your decision when n = 5 and T = 10. You may use:

Note: The continuous random variable X has a gamma density f with param- eters a > 0 and β > 0 if

and

Γ(a +1) = aΓ(a) = a!

2.  Let X1 , X2 ,..., Xn  be independent random variables, with a density

where θ 2 R1  is an unknown parameter.  Let T = min{X1 ,..., Xn } = X(1)  be the minimal of the n observations.

a)  Show that T is a sufficient statistic for the parameter θ.

b)  Show that the density of T is

Hint: You may find the CDF first by using

P(X(1)  < x) = 1 − P(X1 > x \ X2  > x ··· \ Xn  > x).

c)  Find the maximum likelihood estimator of θ and provide justification.

d)  Show that the MLE is a biased estimator.  Hint:  You might want to consider using a substitution and then utilize the density of an exponential distribution

when computing the integral.

e)  Show that T = X(1)  is complete for θ.

f)  Hence determine the UMVUE of θ.