代做Optimization and Algorithms 2022 Quiz代写留学生数据结构程序

日期：2025-01-09 01:25

Optimization and Algorithms

October 19, 2022

Quiz

1. Moving  as far away as possible from  a point.  Consider a vehicle that moves in the plane R2 .  The state of the vehicle at time t is denoted by x(t) ∈ R4 .  The first two components of x(t) correspond to the position of the vehicle at time t; the last two components of x(t) correspond to the velocity of the vehicle at time t.

The  initial  state  of the vehicle  (at time  t  =  1)  is  given  and  is  denoted  by  x init. Assume that the state of the vehicle evolves as

x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t),    t = 1, 2, . . . , T — 1,

where the matrices A ∈ R4×4  and B ∈ R4×2  are given, and u(t) represents a control signal.

We wish to design the control signal u(t), fort = 1, 2, . . . , T —1, such that the vehicle is located as far away as possible from a given point b ∈ R2  at time t = T (that is, at the end of the time-horizon {1, 2, . . . , T}).

Also, as the vehicle is moving (from t = 1 to t = T), it should never enter a given dangerous disk D = {p ∈ R2 :  Ⅱp — cⅡ2  < R}, where the center c and the radius R of the disk are given.

Finally, there is an upper bound on the magnitude of the control signal (as measured by the Euclidean norm Ⅱ·Ⅱ2 ).  Specifically, the magnitude of u(t) should never exceed a given limit U > 0, for t = 0 to t = T — 1.

Let

and consider the following problem formulations:

For the given context, one of the formulations above is appropriate. Which one?

Write your answer (A, B, C, D, E, or F) in the box at the top of page 1

2. Unconstrained optimization.  Consider the following optimization problems:

The point x* = 0 is not a global minimizer for one of the problems above.  Which one?

Write your answer (A, B, C, D, E, or F) in the box at the top of page 1

3. Least-squares.  For a vector v =  (v1 ; v2 ; : : : ; v n) ∈ Rn , the symbol C(v) denotes the n × n (circulant) matrix obtained by letting the vector v become its first column and then rotating v, one component at a time, to get the remaining columns; for example, for v = (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ) ∈ R4, we have

Consider the following optimization problem

where the vectorsak  ∈ Rn  and bk  ∈ Rn  are given for 1 ≤ k ≤ K.  The vector r ∈ Rn and the constant P > 0 are also given.

Problem  (1) can be rewritten as a least-squares problem, that is, as a problem of the form

Consider the following pairs A and β:

(The symbol In  denotes the n × n identity matrix, and the symbol 0n  denotes the n-dimensional vector whose components are all zero.)

Which  of  the  pairs  A and  β  above  makes  problem  (1)  equivalent  to  the  least- squares (2)?

Write your answer (A, B, C, D, E, or F) in the box at the top of page 1

4. Closed-form  solution.    For  a  vector  v  =   (v1 , v2 , . . . , v n)  ∈ Rn ,  the  symbol  D(v) denotes the n × n (diagonal) matrix obtained by displaying the vector v along its diagonal; for example, for v = (v1 , v2 , v3 , v4 ) ∈ R4, we have

Consider the optimization problem

where the matrices A ∈ Rm×n  and R ∈ Rm×n , and the vectors θ ∈ Rn  and b ∈ Rm are given. Assume that the columns of R are linearly independent and all components of the vector θ are nonzero.

One of the following vectors is a global minimizer of (3):

Which one?

Write your answer (A, B, C, D, E, or F) in the box at the top of page 1