代做ECON 4211 Problem Set #1 Spring 2025代做回归

日期：2025-02-14 05:23

ECON 4211

Problem Set #1

Spring 2025

Due February 13th by 8pm

1.  [25 points] Remind yourself of the terminology we developed in Chapter 1 for causal questions.  Suppose we are interested in the causal effect of having health insurance on an individual’s health status.

(a)  [5 points] We run a phone survey where we ask 5,000 respondents about their current insurance and health conditions. The data we collect is an example of a .

(b)  [5 points] The US government has Census data onevery elderly American’s current insurance and health status. This is an example of data for the .

(c)  [5 points] Suppose we take our phone survey data and calculate the difference in health between individuals who do and do not have insurance. This difference is an example of an _______.

(d)  [5 points] The difference in health between all Americans who do and don’t have insurance is an example of an _______.  The effect of insurance on health is an example of a _______.

(e)  [5 points] When the two objects in (d) coincide,we have an example of .  Give one reason why the two objects in (d) might not coincide.

2.  [35 points] Let Y = a + X3 /b where a and b are some constants with b > 0, and where X ∼ N(0, 1).

(a)  [2 points] State the definition of the cumulative density function of Y , which we’llcall Fa,b (y).

(b)  [5 points] Express Fa,b (y) in terms of the CDF of the standard normal distribution Φ(·).  Hint: can you re-write the inequality Y ≤ y as an inequality involving X?

(c)  [3 points] Express E[Y] in terms of E[X3], then use the fact that E[X3] = 0 when X ∼ N(0, 1) to derive E[Y].

(d)  [4 points] Express Cov(Y, X) in terms of E[X4], then use the fact that E[X4] = 3 when X ∼ N(0, 1) to derive Cov(Y, X).

(e)  [2 points] Suppose E[Y] = 0 and Cov(Y, X) = 0.3.  What can you conclude about a and b?

(f)  [6 points] Given your answers to (b) and (e), what is the probability that a draw of Y is bigger than zero? What is the probability that a draw of Y falls between −0.1 and 0.1?

(g)  [3 points] Let W = a + X3 /b + Z where Z is mean-zero and independent of X .  How does the

distribution of E[W | X] (recall this is a random variable) compare to the distribution of Y?

3.  [40 points] In this problem, we will talk about how to estimate the variance of a random variable X ,

σX(2), with an iid sample of n observations. Recall that the definition of variance is

σX(2) = E[(Xi − µX )2]

Note that to use this estimator, you need to know µX .  However, we rarely (or never) know the true value of µX . This implies one has to use some sort of replacement for µX .  A seemingly natural option

is to use as an estimator for µX .

(a)  [7 points] Show that is an unbiased estimator.  Is it consistent?  What law would you use to prove that?

(b)  [7˜ points] Suppose that somebody gave you the advice of using the following estimator: and said that this estimator is more efficient. Is this claim true?

(c)  [7 points] Suppose you decided to use the formula below to estimate sample variance:

which can be conveniently rewritten as

Show that

(d)  [7 points] Show that

Hint: think about the variance of the sample mean (computed in class).

(e)  [6 points] Using (d),calculate E[˜(σ)X(2)].

(f)  [6 points] Is the estimator ˜(σ)X(2)  unbiased?  If not, calculate the bias of this estimator and propose an unbiased estimator.