代写MAST10007 Linear Algebra – 2024 Semester 1 Assignment 4调试Matlab程序

日期：2024-04-29 04:03

Step by step instructions for Assignment 4

MAST10007 Linear Algebra – 2024 Semester 1

Task 1:  Convince  yourself that T  is a regular tetrahedron. Do do so, you need to compute some distances and angles, for instance

. the distance between and ,

. the distance between and ,

. the length of the vectors , , , and ,

.  the angle between — and — ,

.  the angle between — and — ,

. the angle between — and — , and so on.

. you can also compute the sum of these four vectors, if you like.

Compute just enough of these so you practice distances and angles and you are confident in the end that T is a mathematical description of the object you are meant to craft below.

Next,

. Write as a linear combination of and .

. Write as a linear combination of and .

. Write as a linear combination of and .

Task 3:  Find the symmetries and fill in the composition table. You are now in a position to find the matrices of all the linear symmetries of the tetrahedron.

The first rotation Start with the symmetry A → B → C → A. You are looking for a 3 x 3-matrix R, and you know that R needs to satisfy

Use this information to find

and hence R. Make sure to fact check your computation by calculating R and R and R and R.

Right-hand rule Place a piece of paper on your desk and place the tetrahedron you crafted on top with the face D  facing down and the vertex at the top.  On your piece of paper, mark and label the positions of the other three vertices.  Your rotation moves the vertex to position , the vertex to position and the vertex to position . Move your tetrahedron accordingly. Put your right fist on the desk next to your tetrahedron, thumb facing towards the ceiling. So, your thumb is facing in the same direction as the vector . Open your fist slightly, and turn rotate your hand, in the direction of your fingertips. Your thumb should continue to face up.  This is the positive direction of rotation, according to the right-hand rule, about the vector . You can figure out the angle and its sign from how you moved your tetrahedron.

The second rotation Next, find the matrix of the symmetry Let’s call this matrix S , we will need it later. Use the same method as you used to find R. You know what S does to the vertices of T. Use this knoweldge to determine the effect of S on the standard basis vectors. This requires a little bit of patience. The computation is easier if you always immediately pull the common denominator out of your vector or matrix.

Take your tetrahedron. Can you figure out the rotation axis for S? Without any computations, can you find S2 ? What is the rotation angle?

Fact-check your answers in multiple ways:  Form S, S, S, and S.  You can also compute the length of each column vector of S  (this should be 1, why?)  and their dot product with each other (this should be 0 unless the vectors are equal to each other, why?).  Multiply  S  with the vector you believe spans the rotation axis. Does multiplication by S leave this vector unchanged?  Compute S2  and compare it with your geometric prediction. Use MATLAB for these fact-checks, if you get tired of doing them by hand. You want to be absolutely certain that you found the correct matrices for R and S, because you will use these to find the others.

Finding all the other rotations From here, you have a number of options on how to proceed.   A tedious approach would be to repeat the method above for each of the remaining nine symmetries.  An easier way is to use the fact that a symmetry followed by another symmetry is again a symmetry. Composition of symmetries corresponds to matrix multiplication.  So, start by computing some matrix products, using the two matrices R and S that you have already found. For instance, compute

R2,  RS,  SR,  R2S,  RSR,  SR2

and so on.  Always go for the easiest product that you have not already computed.  Once you have computed a new symmetry in this manner, figure out what is does to the vertices of T and enter the answer in the corresponding box on the answer sheet.  It is important that you bring the answers to paper in the prescribed order, so your tutors find the matrix where they are looking for it.  (Gradescope takes forever to turn pages.) You can fact-check your answers and keep track of your computations using the composition table.

How to use the composition table: you probably do not want to calculate 144 matrix products, but you can work out relatively easily how the symmetries compose:  for each box, the symmetry labeling its column is carried out first, followed by the symmetry labeling its row.

In the example that is filled in already, you have to first carry out the symmetry swapping face A with face B and face C with face D, and then follow it by the symmetry that sends the face A to B , B  to C  and C to A. This corresponds to the matrix product RS.

To use your tetrahedron to determine this symmetry, place it in its original position on your sheet of paper. First apply the symmetry encoded in S. Afterwards the vertex is on top (i.e., it has moved to the

position ), while the vertex is in position , the vertex is in position , and the vertex is in position . The next symmetry is R. It gets applied to the positions. So, it is the same movement as before, keeping the vertex fixed at the top and rotating the tetrahedron about this position.

So, when you carry out both of these symmetries in order, A first gets send to B  and from there to C , the face B gets send to A and then back to B, the face C  is send to D  and the face D  is sent to C  and then on to A. This is recorded in the composition table.