代做Intermediate Econometrics: Assignment 1代做留学生Matlab程序

日期：2024-03-21 04:25

Intermediate Econometrics: Assignment 1

Simple Regression Model

National School of Development

March 12, 2024

1    Theoretical Deduction

Consider the simple linear regression model:

g = β0 + β1① + u                                                     (1)

where g is the dependent variable, ① is the independent variable,u is the error term.  u includes the unobservable factors. β0 is the intercept parameter, β1  is the slope parameter.

Q1.  What is the Chinese translation of the concept error term?

We want to estimate the paramters β0  and β1  in this model.

1.1    Method of Moments

Let’s obtain the explicit form. of the estimators of these two parameters. The main assumption we need is E(u| ①) = 0.

Q2.  Let u and ① be random variables in (1). Show that:

E(u| ①) = 0 ⇒ E(u) = 0.                                               (2)

Q3.  True or False: If Cou(①)u) = 0, then E(u| ①) = 0 for every ①.

Using condition (2), we can obtain another condition.

Q4.  Show that under condition (2), we have:

Cou(①)u) = E(①u) = 0

Equation (1) is the population version of the regression. Let’s rewrite it into sample version:

yi  = β0 + β1 xi + ui ,

where {(xi , yi  .

Rewrite condition (2) and the second equality of (3) into sample form.

ui  = 0

xi ui  = 0

We call equation (2) and (3) to be population moment conditions. We call equation (6) and (7) to be sample moment conditions.

Rewrite equation (4) to be

ui  = yi  − β0 − β1 xi                                                                                  (7)

Plug this into (6), we can obtain

1 n

xi (yi − β0 − β1 xi ) = 0 (8)

The explicit form of the estimator is some algebraic expression using oberved data tuples (xi , yi ), i =  1, 2, . . ..  We use symbols with     ˆ    on the top to denote estimators, i.e., β(ˆ)1  is the estimator of β1 ,β(ˆ)0  is the estimator of β0 , etc..

Q5.  Define ¯(y) =

Σ yi and¯(x) =

Σ xi. Use the sample moment conditions to show that:

β(ˆ)0  = ¯(y) −β(ˆ)1 ¯(x)                                                                                            (9)

Q6.  Use the sample moment conditions and equation (9) to show that:

β(ˆ)1  =

Σ(xi − ¯(x))(yi − ¯(y)) (10)

1.2    Ordinary Least Squares

Now forget about equations (9) and (10). Rather than MoM, we want to use another method, OLS, to recalculate the explicit form of the estimators of parameter β0  and β1.  Define the fitted value of

yi as

ˆ(y)i  = β(ˆ)0 +β(ˆ)1 xi.

Note that here we have not known how to express β(ˆ)0  and β(ˆ)1  yet.

Define the residual of regression (1) to be

ˆ(u)i  = yi − ˆ(y)i

Q7.  What is the Chinese translation of the concept residual?

Q8.  Can you draw a scatter graph with a fitted line, and depict ˆ(y)i  and ˆ(u)i  in it?

Define Residual Sum of Squares (SSR) of regression to be

 ˆ(u)i 2                                                                                                  (13)

So we have

SSR = ˆ(u)i 2

(=12) (yi − ˆ(y)i )2                                                                                      (14)

(=11) (yi  − β(ˆ)0  − β(ˆ)1 xi )2

Define Ordinary Least Square method to be choosing some β(ˆ)0  and β(ˆ)1  to minimize SSR. This is an optimization problem.  We can use derivation to solve it.  Assume the function to be optimized, SSR(β(ˆ)0 , β(ˆ)1 ), is well-defined so that we can use the first order conditions (F.O.C.s) to obtain the explicit estimators.

The optimization problem can be written as

min b0 ,b1

(yi  − b0  − b1 xi )2  (15)

Q9.  Write out the first order conditions of this optimization problem. (For simplicity, teaching assis- tants have helped you to list them here! But you should know how to derive them using derivation.) Solve for the OLS estimators.

Soln.  The F.O.C.s of this problem are

(w.r.t.   b0 )    [−2(yi  − b0  − b1 xi )] = 0

(w.r.t.   b1 )    [−2(yi  − b0  − b1 xi )xi] = 0

where ”w.r.t.” stands for ”with respect to”. Therefore, the OLS estimators are ...

Q10.  Compare your answer with equations (9) and (10).   Are they the same?   Did you use the assumption E(u|x) = 0 to obtain OLS estimators?

Q11.       1.  Define xi(′) = axi  + band regress yi  on xi(′) by yi  = β0(′) + β1(′)xi(′) + ui(′). What is the estimate

of β1(′)?

2.  Define yi(′) = ayi  + band regress yi(′) on xi by yi(′) = β0(′) + β1(′)xi  + ui(′). What is the estimate of β1(′)?

3.  Replace yi  with ln(yi ).  Assume yi   >  0 for i =  1, 2, .... Regress ln(yi ) on xi  by ln(yi )  = β0(′) + β1(′)xi + ui(′). What is the economic interpretation of β1(′)?

4.  Replace yi  with ln(yi ) and replace xi  with ln(xi ). Assume yi  > 0 and xi  > 0 for i = 1, 2, .... Regress ln(yi ) on ln(xi ) by ln(yi ) = β0(′) + β1(′)ln(xi ) + ui(′). What is the economic interpretation

of β1(′)?

1.3    Some algebraic properties of simple linear regression

Now, define zero conditional mean condition to be

E(u|x) = 0.

Recall the OLS estimators of simple linear regression. Use data {(xi , yi ) : i = 1,...., n} to fit the

model, and obtain estimates

β(ˆ)1  =

β(ˆ)0  =

Σ(xi − ¯(x))(yi − ¯(y))

¯(y) − β(ˆ)1 ¯(x)

Recall that, when deriving the OLS estimator, we did not assume zero conditional mean (on the contrary, at the start of deriving MoM estimators, we made this assumption).  The assumptions we need for deriving OLS estimators were trivial:

(i) The function to be optimized in the optimization problem (15) should be well-defined;

(ii) {xi (xi − ¯(x))  0.

Also, while deriving algebraic properties of OLS estimator, we do not need the zero conditional mean condition neither.

Q12.  Use the definition of the OLS residual ˆ(u)i , show that:

ˆ(u)i  = 0.

Q13.  Define sample covariance estimator between regressor xi  and OLS residual ˆ(u)i  to be

ˆ(u)i ) ≡  xi ˆ(u)i − ( xi )(  ˆ(u)i )

≈   xi ˆ(u)i − (  xi )(   ˆ(u)i )

Under F.O.C. w.r.t. β1  of the optimization problem (15), with the conclusion (18) we have obtained just above, show that:

—

Cov(xi , ˆ(u)i ) = 0.

Q14.  (Now trivial)  Show that:

 xi ˆ(u)i  = 0.                                                       (20)

Equations (18) and (20) are important properties and will be needed sooner.