代写FN3142 Quantitative Finance代写C/C++程序

日期：2025-02-05 05:22

FN3142  ZA

Quantitative Finance

Question 1

Consider the following MA(2) process:

zt  = ut + Q1ut-1 + Q2ut-2 ,

where ut  is a zero-mean white noise process with variance σ 2 .

(a) Calculate the conditional and unconditional means of zt , that is, Et  [zt+1] and E [zt]. [20 marks]

(b) Calculate the conditional and unconditional variances of zt , that is,  V art [zt+1] and Var [zt]. [30 marks]

(c) Derive the autocorrelation function of this process for all lags as functions of the param- eters Q1  and Q2 . [50 marks]

Question 2

(a) What are the two main problems in multivariate volatility modelling?  Explain them briefly. [25 marks]

(b) Describe Bollerslev (1990)’s constant conditional correlation (CCC) model. [25 marks]

(c) Describe what tests you can use to test for volatility clustering. [25 marks]

(d) What information criteria can be used (as measures of performance) that penalise models for using a larger number of parameters?  Describe their link with the log-likelihood function and the number of parameters. [25 marks]

Question 3

(a) Describe how one can determine Value-at-Risk (VaR) using models based on the normal distribution, and critically assess such procedure. [60 marks]

(b) Consider a position consisting of a $20,000 investment in asset X and a $20,000 in- vestment in asset Y. Assume that returns on these two assets are i.i.d.  normal (Gaussian) with mean zero, that the daily volatilities of both assets are 3%, and that the correlation coefficient between their returns is 0.4. What is the 10-day VaR at the Q = 1% critical level for the portfolio? [40 marks]

Question 4

(a) What does serial correlation mean? Explain. [10 marks]

(b) Suppose you have a fair coin, that is, the probability of seeing a ‘head’ is always equal to one-half, and coin tosses are independent of each other.  Let xt   take the value -1 or 1 depending on whether the tth  coin toss came up heads or tails.

Consider now a process yt  that is given by

yt  = xt + xt-1 .

Calculate the autocorrelations of the process yt. [30 marks]

(c) Describe the three types of market efficiency as defined by Roberts (1967). [30 marks]

(d) Does weak-form. market efficiency imply strong-form. market efficiency? What about the reverse? Explain. [10 marks]

(e) Under the Efficient Market Hypothesis (EMH), what should be the correlation coefficient between stock returns for two non-overlapping time periods?  Can the process yt   from part (b) describe a return process under EMH? Explain. [20 marks]

FN3142  ZB

Quantitative Finance

Question 1

Consider a process Yt  that resembles an MA(1) process except for a small change: Xt  = ut + (-1)t δut-1 ,

where ut i~.i.d N(0, σu(2)) and 0 < δ < 1 constant.

Hint:  (-1)t  = 1 if t is an even number, and -1 if t is odd.

(a) Find Et [Xt+1], Et [Xt+2], and E[Xt]. Pay attention to t being odd or even. [30 marks]

(b) Find Var[Xt]. [20 marks]

(c) Derive the autocovariance for lags 1 and 2. [30 marks]

(d) Explain what covariance stationarity means, and relate it to your findings in parts (a), (b), and (c). [20 marks]

Question 2

There are three companies, called A, B, and C, and each has a 4% chance of going bankrupt. The event that one of the three companies will go bankrupt is independent of the event that any other company will go bankrupt.

Company A has outstanding bonds, and a bond will have a net return of r = 0% if the corporation does not go bankrupt, but it will have a net return of r = -100%, i.e., losing everything invested, if it goes bankrupt.  Suppose an investor buys $1000 worth of bonds of company A, which we will refer to as portfolio P1 .

Suppose also that there exists a security whose payof depends on the bankruptcy of companies B and C in a joint fashion.  In particular, if neither B nor C go bankrupt, this derivative will have a net return of r = 0%.  If exactly one of B or C go bankrupt, it will have a net return of r = -50%, i.e., losing half of the investment. If both B and C go bankrupt, it will have a net return of r = -100%, i.e., losing the whole investment.  Suppose an investor buys $1000 worth of this derivative, which is then called portfolio P2 .

(a) Calculate the VaR at the α = 10% critical level for portfolios P1  and P2 . [30 marks]

(b) Calculate the VaR at the α = 10% critical level for the joint portfolio P1  + P2 . [20 marks]

(c) Is VaR sub-additive in this example?  Explain why the absence of sub-additivity may be a concern for risk managers. [20 marks]

(d) The expected shortfall ESα at the α critical level can be defined as

ESα = -Et [RjR < -VaRα +1] ,

where R is a return or dollar amount.  Calculate the expected shortfall at the α =  10% critical level for portfolio P2 . Is this risk measure sub-additive? [30 marks]

Question 3

(a) Explain Black’s observation regarding the link between the stock returns and changes in volatility and provide a possible explanation for this efect. [25 marks]

(b) Does a simple GARCH(1,1) model capture the leverage efect? Explain. [25 marks]

(c) Describe two GARCH-type models that account for the leverage efect.  Note:  For full marks, write down the processes with equations and explain analytically how they work. [40 marks]

(d) For both GARCH-type models you mentioned in part (c), discuss whether they nest the GARCH(1,1) model. [10 marks]

Question 4

(a) What does serial correlation mean? Explain. [10 marks]

(b) Suppose you have a fair coin, that is, the probability of seeing a ‘head’ is always equal to one-half, and coin tosses are independent of each other.  Let xt   take the value -1 or 1 depending on whether the tth  coin toss came up heads or tails.

Consider now a process yt  that is given by

yt  = xt + xt-1 .

Calculate the autocorrelations of the process yt. [30 marks]

(c) Describe the three types of market efficiency as defined by Roberts (1967). [30 marks]

(d) Does weak-form. market efficiency imply strong-form. market efficiency? What about the reverse? Explain. [10 marks]

(e) Under the Efficient Market Hypothesis (EMH), what should be the correlation coefficient between stock returns for two non-overlapping time periods?  Can the process yt from part (b) describe a return process under EMH? Explain. [20 marks]