代写MATH0099 Statistical Methods and Data Analytics 2020 Problem Sheet 5代做留学生SQL语言程序

日期：2024-08-22 06:26

MSc Financial Mathematics

Statistical Methods and Data Analytics 2020

MATH0099

Problem Sheet 5

Problem 1. Let X1 , . . . , Xn be iid copies of a random variable X ~ N (θ, σ2) and suppose that the prior distribution of the mean θ is N (µ, τ2).  The parameters σ2, µ and τ2 are known.

1. Find the joint pdf of X and θ .

2.  Show that m(xjσ2, µ, τ2), the marginal distribution of X, is N (µ, σ2 /n + τ2).

3.  Show that π(θjx, σ2, µ, τ2), the posterior distribution of θ, is normal with mean and variance given by

Problem 2. Let X1 ; . . . ; Xn  be iid copies of a random variable X ~ Poisson(λ) and suppose that the prior distribution of λ is gamma(Q; β).

1. Find the posterior distribution of λ .

2.  Calculate the posterior mean and variance.

Problem 3. Consider the so called LINEX loss function given by

where c is a positive constant.

1.  For c = .2, .5, 1, plot L(θ, a) as a function of a - θ .

2. If X ~ Pθ(x), show that the Bayes estimator (or Bayes rule) of θ, using a prior α, is given by

3.  Let X1 , . . . , Xn  be iid N(θ, σ2), where σ2 is known, and suppose that θ has the noninformative prior Q(θ) = 1. Show that the Bayes estimator (or Bayes rule) is given by δB(X) = X - (cσ2/(2n)).

4.  Calculate the posterior expected loss for δB(X) and X- using the LINEX loss function.

5.  Calculate the posterior expected loss for δB(X) and X- using squared error loss.