代做MATH32051 HYPERBOLIC GEOMETRY 2020代做留学生SQL 程序

日期：2024-04-15 07:12

MATH32051

HYPERBOLIC GEOMETRY

20th Jan 2020

1.

(i)  Recall that a straight line in R2  is given by the equation ax+by +c = 0, a,b, c ∈ R.  Show that this equation can be written in the form.

βz + βz +    = 0,   β ∈ C,    ∈ R.

Show that a vertical straight line in C has an equation of the form.

βz + βz +    = 0,   β,   ∈ R.         [4 marks]

(ii)  Recall that the (Euclidean) circle in C with centre z0   ∈ C and radius r > 0 is given by the

equation |z - z0 | 2  = r2.  Show that this equation can be written in the form.

zz + βz + βz +    = 0,   β ∈ C,    ∈ R

and determine β,   in terms of z0 ,r.

Show that the equation of a (Euclidean) circle in C with real centre z0  has the form.

zz + βz + βz +    = 0,   β,   ∈ R                 [6 marks]

(iii)  Consider the points -5 + 12i,  12 + 5i  ∈ H.  Find the equation of the geodesic  (i.e. ind an equation of the form (1)) that passes through these two points.

This geodesic is a semi-circle.  Determine its centre z0  and radius r.  Hence write down the end-points of this geodesic.

Write down a M¨obius transformation of H that maps this geodesic to the imaginary axis.

The point z1  = (39+52i)/5 also lies on this geodesic.  Briely explain how you would construct a M¨obius transformation that maps this geodesic to the imaginary axis and maps the point z1 to i.  (You do not need explicitly calculate this M¨obius transformation; instead, your answer should explain how you would do it.)  [8 marks]

(iv)  Let 0 < a < b.  Let σ be a path from ia to ib.  Prove that lengthH (σ) ≥ logb/a with equality if, and only if, σ is the straight line along the imaginary axis from ia to ib.  [8 marks]

(v)  Consider the following statement.

Let H1 , H2  be two geodesics in H that do not intersect.  Then there exists a unique geodesic in H that passes through both H1  and H2  at right-angles.

Suppose that H1 , H2   have  distinct  end-points  on  ∂H.    Prove that,  in this  case,  the  above statement is true.  (Hint: Without loss of generality you can assume that H1  is the imaginary axis. Which geodesics pass through H1  at right-angles?)          [4 marks]

2.

(i)  Recall that a M¨obius transformation of D is a transformation of the form.

(z) = 

where α,β ∈ C and |α| 2  - |β| 2  > 0.

In each of the following cases, state whether the transformation is a M¨obius transformation of D or not, giving a brief reason for your answer:

(a)   (z) = eiθ z, θ ∈ R,     (b)   (z) =  .            [4 marks]

(ii) Let

1 (z) =  ,      2 (z) =  ∈ M¨ob(D)

be two M¨obius transformations of the Poincare disc D.  (Here α1 ,α2 ,β1 ,β2  ∈ C and |α1 | 2  - |β1 | 2  > 0, |α2 | 2  - |β2 | 2  > 0.)

Show that the composition   1    2  is a M¨obius transformation of D.          [8 marks]

(iii)  Let Γ       M¨ob(D) be a Fuchsian group.   Briely  outline  a  procedure which will generate  a Dirichlet region for Γ .

Let   3  denote the rotation around the origin through 120 degrees anticlockwise; let   4  denote the rotation around the origin through 120 degrees clockwise. Let Γ = {id,  3 ,  4 }.

Let p = 1/2 and determine the Dirichlet polygon D(p).

Sketch the resulting tessellation in D.

Determine the side-pairing transformations of D(p).

Sketch the corresponding tessellation in the upper half-plane H.           [14 marks]

(iv)  Let Γ = {id,  3 ,  4 } be as in  (iii) above.  Give an example of a fundamental domain D for Γ

that cannot be of the form D(p) for any p ∈ D.

Sketch the resulting tessellation in D.               [4 marks]

3. Throughout this question you may use the fact that coshdH (z, w) = 1 + . You may

also use the fact that sinπ/6 = 1/2.

(i)  Recall that if A    H then we deine AreaH (A) = llA  .

Let Δ be a hyperbolic triangle with one ideal vertex and internal angles α,β,0.  Prove that AreaH (A) = π - (α+β).  (You may NOT assume the Gauss-Bonnet Theorem.)              [8 marks]

(ii)  Consider the diagram in Figure 1(i) below. Show that

sin θ =  .                     (2)

[Hint:  suppose the geodesic through  1  and  ib is  a  semi-circle  with centre x and radius r. Consider the (Euclidean) right-angled triangle with vertices at x, 0, ib and use the (Euclidean) Pythagoras Theorem.]

Now consider the hyperbolic triangle in H with vertices at (2 + √3)i, 0,  1 as illustrated in Figure 1(ii). What are the internal angles at 0 and 1? Use the Gauss-Bonnet Theorem and (2) to calculate the hyperbolic area of this triangle.

(i)

(ii)

0           1

(2 + √3)i

0               1

Figure 1: See Q3(ii).                  [8 marks]

(iii) Let Δ be a right-angled hyperbolic triangle with one ideal vertex and internal angles α,0,π/2. Then Δ has one side with inite hyperbolic length; let a denote the hyperbolic length of this side.

Prove the angle of parallelism formula: cosha = 1/ sinα .

Is there a Euclidean analogue of this result?    [8 marks]

(iv)  Let Δ be a right-angled hyperbolic triangle with one ideal vertex and internal angles α,0,π/2.

Suppose that the side of Δ of inite hyperbolic length has hyperbolic length log(2 + √3). Calculate AreaH (Δ).  [Hint: you can use the fact that cosha = (ea + e — a )/2.]     [6 marks]

4.

(a)    (i)  Let E be an elliptic cycle with corresponding elliptic cycle transformation    .  What does it mean to say that E satisies the elliptic cycle condition?

Let P be a parabolic cycle with corresponding parabolic cycle transformation   .  What

does it mean to say that P satisies the parabolic cycle condition?     [4 marks]

(ii)  Consider the hyperbolic polygon as illustrated in Figure 2.

1

2

3 + 3i

0

Figure 2: See Q4(a)(ii).

Deine

1 (z) = z + 6,     2 (z) = z—3             (3)

Use Poincare’s Theorem to show that   1   and   2  generate a Fuchsian group Γ .   Give a presentation of Γ in terms of generators and relations.  Briely describe the quotient space H/Γ .

Show by explicit calculation that   1 ,  2 , as deined in (3), satisfy the relation or relations that you have given in your presentation of Γ . [14 marks]

(b)    (i)  Let S = {a1 ,..., ak } be a inite set of symbols.  Briely explain how to construct the free group on k generators, Fk .

(Your answer should include: a description of the elements of Fk , a description of the group operation, a description of the group identity, a description of how to ind the inverse of an element in Fk .  You do not need to prove that the group operation is well-deined.)  [4 marks]

(ii)  Consider F2 , the free group on 2 generators a,b.  List the 4 distinct words of length 1 and the 12 distinct words of length 2 in F2 .

How many distinct words of length n are there in F2 ? Justify your answer.   [8 marks]